改訂版　はじめに

初版　はじめに

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第１部　面積とは何か
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第１章　素朴な面積の理論（ルベーグ以前）

1.1　ジョルダンによる面積の定義
1.2　ジョルダンの意味で面積が測定できない図形


第２章　ルベーグの意味の面積

2.1　有限の世界と無限の世界
2.2　ルベーグによる面積の定義


第３章　面積を測定できる図形とルベーグ測度

3.1　ルベーグ測度の完全加法性
3.2　どのような図形がルベーグ可測か
3.3　外測度が∞の図形のルベーグ可測性について


第４章　ルベーグ測度の代数的および幾何的性質

4.1　ルベーグ可測集合族の代数と等測包
4.2　ルベーグ測度の平行移動と回転不変性について


第５章　カラテオドリによるルベーグ可測性の特徴づけ


第６章　d次元ルベーグ測度

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第２部　ルベーグ積分
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第７章　ルベーグ可測関数

7.1　ルベーグ可測関数の定義と性質
7.2　可測関数の単関数による近似


第８章　ルベーグ積分

8.1　ルベーグ積分の定義
8.2　「ほとんどすべての点で成り立つ」という考え方

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第３部　ルベーグ積分の重要な定理
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第９章　ルベーグの収束定理

9.1　概収束
9.2　ルベーグの収束定理
9.3　ルベーグ積分とリーマン積分
9.4　積分と微分記号の交換について


第10章　ルベーグ積分とL^p空間

10.1　L^p不等式
10.2　バナッハ空間とL^p空間


第11章　フビニの定理とその応用例

11.1　フビニの定理
11.2　フビニの定理の応用例


第12章　L^p関数のC^∞級関数による近似とその応用


第13章　ルベーグ積分の変数変換の公式

13.1　微分同相写像と写像の微分
13.2　ルベーグ積分に関する変数変換の公式
13.3　補題の証明の準備
13.4　補題13.4の証明
13.5　変数変換の公式の証明（近似理論を駆使）

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第４部　ルベーグ測度以外の測度
　　　　　　――ハウスドルフ測度と抽象的測度
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第14章　無視できない測度0の図形――カントル集合

14.1　カントル集合
14.2　カントルの悪魔の階段
14.3　正方形を埋め尽くすほとんどいたるところ微分可能な曲線


第15章　不思議な測度0の図形――ベシコヴィッチ集合

15.1　ベシコヴィッチ集合と実解析学
15.2　ペロンの木によるベシコヴィッチ集合の構成


第16章　ハウスドルフ測度

16.1　曲線の長さ
16.2　曲線の長さを測定できる1次元ハウスドルフ測度
16.3　1次元ハウスドルフ測度では測れない曲線
16.4　s次元ハウスドルフ外測度
16.5　R^d上のs次元ハウスドルフ外測度


第17章　ハウスドルフ次元

17.1　ハウスドルフ次元
17.2　さまざまな図形のハウスドルフ次元
17.3　定理17.6の証明
17.4　掛谷集合と掛谷予想


第18章　抽象的な測度と積分

18.1　σ-集合体と抽象的測度
18.2　積分の定義
18.3　ルベーグの収束定理
18.4　測度を作る――抽象的外測度を使った構成
18.5　ホップの拡張定理と確率分布関数への応用
18.6　測度論的な確率論


付録

付録A　実数の基本的な性質
　　A.1　数列の収束
　　A.2 上限と下限

付録B　有界閉集合
付録C　p進小数
付録D　可算集合，非可算集合，カントルの定理
付録E　図形の収束――ハウスドルフ収束
付録F　ジョルダン可測性の定義について

問題の解答
参考文献
索引